対角線の本数は公式で一発！なぜ3引いて2で割るのか理由と裏技を徹底解説

中学入試の算数から高校数学の図形・組み合わせ問題まで、定期テストや受験で頻出するテーマのひとつが「多角形の対角線の本数」です。「公式を丸暗記して乗り切ったものの、試験本番で分母や引く数を度忘れして焦った」という経験を持つ方も少なくないはずです。

多角形の対角線は、仕組みさえ把握していれば公式を忘れてもその場で数十秒で作れます。本記事では、公式の構造的な理由から、十角形・二十角形を即答する計算テクニック、高校数学の組み合わせを用いた別解や交点の求め方まで、図形問題の核心を分かりやすく解き明かします。

📌 【この記事の重要ポイントまとめ】

• 要点1：多角形の対角線の本数は公式「n(n-3)/2」を使えば、十角形でも一瞬で正確に算出できる
• 要点2：「なぜ3を引くのか（自分と両隣を除く）」「なぜ2で割るのか（重複の解消）」という理由を知れば丸暗記は不要
• 要点3：高校数学の組み合わせ思考（nC2 - n）や交点の数（nC4）まで応用知識を広げることで発展問題にも即座に対応可能

【基礎知識】対角線の本数を求める公式「n(n-3)/2」とは？

多角形（n角形）の対角線の総本数を求める場合、最も基本となるのが「n(n-3)/2」という計算公式です。

ここで使われている文字「n」は多角形の頂点の数（または辺の数）を表しています。たとえば五角形であればn＝5、六角形であればn＝6を代入するだけで、どれほど頂点が多い図形であっても一瞬で全体の対角線の本数を割り出すことが可能です。

手作業で図を描いて1本ずつ数えようとすると、頂点が増えるにつれて線の交差が増え、数え間違いや重複が必ず発生します。だからこそ、多角形対角線求め方における計算ロジックの確立が不可欠となります。

なぜ「3を引いて2で割る」のか？丸暗記を脱する対角線公式の理由

多くの学習者が疑問に感じるのが、「なぜ頂点数nからわざわざ3を引き、最後に2で割るのか」という点です。この対角線公式の理由は、図形の性質を分解すると非常にシンプルに説明できます。

まず、対角線の定義は「多角形において、隣り合わない2つの頂点を結ぶ直線」です。ある1つの頂点に注目したとき、その点自身から直線を引く相手として選べない点が必ず合計3つ存在します。

1つ目は「自分自身の頂点」、2つ目は「右隣の頂点」、3つ目は「左隣の頂点」です。両隣の頂点と結んだ線は対角線ではなく外周の「辺」になってしまうため、対角線としてはカウントできません。したがって、1つの頂点から引ける対角線は必ず「n - 3」本になります。

n角形には頂点が全部でn個あるため、すべての頂点から一斉に対角線を引くと「n × (n - 3)」本になります。しかし、この状態では例えば「頂点Aから頂点Cへ引いた線」と「頂点Cから頂点Aへ引いた線」を別々の2本として二重にカウントしています。1本の対角線を両端から2回ずつ数えている状態のため、最後に2で割ることで重複を解消し、正確な本数が導き出せます。

【早見表】五角形から二十角形まで！対角線の本数一覧表と具体例

頻出する多角形について、頂点数ごとの対角線の本数を一覧にまとめました。規則性を把握することで、計算結果の検算にも役立ちます。

多角形の種類	1つの頂点から引ける本数 (n-3)	計算式 {n(n-3)/2}	対角線の総本数
三角形（n=3）	0本	3 × 0 / 2	0本
四角形（n=4）	1本	4 × 1 / 2	2本
五角形（n=5）	2本	5 × 2 / 2	5本
六角形（n=6）	3本	6 × 3 / 2	9本
八角形（n=8）	5本	8 × 5 / 2	20本
十角形（n=10）	7本	10 × 7 / 2	35本
十二角形（n=12）	9本	12 × 9 / 2	54本
二十角形（n=20）	17本	20 × 17 / 2	170本

五角形の対角線は5本となり、五芒星（星型）の形を作ることで有名です。また、六角形の対角線の本数は9本、八角形の対角線の本数は20本、十角形の対角線の本数は35本と、頂点が2つ増えるだけでも対角線の総数は急激に増加していきます。

中学受験から高校数学へ｜「組み合わせ（nC2）」で解く別解アプローチ

中学受験算数対角線の問題では前述の「1点から引ける本数×頂点数÷2」が王道解法ですが、高校数学組み合わせ計算の視点を取り入れると、より高度で普遍的な考え方が身につきます。

n角形には頂点がn個あります。対角線であれ外周の辺であれ、2つの頂点を選んで直線で結べば何らかの「線分」が完成します。n個の異なる頂点から2個を選ぶ組み合わせの総数は、高校数学のコンビネーション記号を用いて「nC2 = n(n - 1) / 2」と表せます。

このnC2本の中には、図形の外枠である「辺の数（n本）」もすべて含まれています。全体から辺の数n本を引き算すると以下のようになります。

n(n - 1)/2 - n = (n² - n - 2n)/2 = n(n - 3)/2

見事に同じ基本公式へと帰着します。この2つのアプローチを両方知っておくことで、算数的な直観理解と数学的な論理思考の双方が深まります。

【応用編】「対角線の交点の数」と「正多角形の対角線の長さ」の求め方

入試の難関問題や適性検査では、単に本数を求めるだけでなく「発展的な図形性質」を問う問題が出題されます。

その代表例が対角線の交点の数です。「凸n角形において、どの3本の対角線も1点で交わらない場合、内部にできる交点は何個あるか」という問題では、「nC4 = n(n-1)(n-2)(n-3)/24」という関係式が成り立ちます。内部にできる交点1つは、図形の頂点4つを選んで交差する2本の対角線を結ぶことで一意に決まるためです。

また、正多角形対角線の長さを求める問題も定番です。たとえば1辺の長さが1の正五角形では、対角線同士が黄金比（(1+√5)/2 ≈ 1.618）で分割される幾何学的性質を利用します。正六角形の場合は、向かい合う頂点を結ぶ最長の対角線が「1辺の長さの2倍（外接円の直径）」になり、それ以外の対角線は正三角形2つを組み合わせた「√3倍」の長さになります。

【対角線の本数】に関するよくある質問（FAQ）

Q1：三角形に対角線が存在しないのはなぜですか？
A1：公式にn＝3を代入すると「3×(3-3)/2 = 0本」となります。三角形の頂点から見ると、他の2つの頂点がどちらも「隣の頂点」であるため、結んでもすべて外周の辺になってしまい、対角線が引けません。

Q2：対角線の本数が54本ある多角形は何角形ですか？（逆算の解き方）
A2：公式「n(n-3)/2 = 54」より、両辺を2倍して「n(n-3) = 108」とします。「差が3である2つの整数の掛け算が108」となる組み合わせを探すと、12 × 9 ＝ 108が見つかります。したがって、正解は十二角形です。中学数学以上であれば二次方程式「n² - 3n - 108 = 0」を因数分解して(n-12)(n+9)=0とし、n>0よりn=12と求められます。

Q3：立方体など立体の対角線の本数はどう求めますか？
A3：立体の場合、「同一平面上にない頂点同士を結ぶ線分」を空間対角線と呼びます。例えば立方体（頂点8個）の場合、8個から2個選ぶ線分の総数（8C2＝28本）から、辺の数（12本）と各面の対角線（2本×6面＝12本）を引くことで、内部を通る対角線は「28 - 12 - 12 = 4本」と算出できます。

まとめ：公式の「成り立ち」を押さえて図形問題を完全攻略

多角形の対角線の本数は、公式「n(n-3)/2」の構造を一度理解してしまえば、ど忘れのリスクをゼロにできます。「自分と両隣を除く3点を引く」「2頂点間の往復重複を割る」というシンプルな理由さえ頭にあれば、テスト本番でどんな多角形が出題されても冷静に対処可能です。

さらに組み合わせ（nC2）の視点や交点の計算（nC4）といった応用パターンまで視野を広げることで、図形問題への対応力は飛躍的に高まります。公式を単なる文字列として暗記するのではなく、幾何学的な意味とセットで記憶に定着させていきましょう。 （出典: 対角線 の 本数（Yahoo!ニュース））